Question

18．已知函数$f（x）=x-alnx+a+\frac{b}{x}$．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线过点（4，-2），且x=2时，y=f（x）有极值，求实数a，b的值；
（2）若函数g（x）=x•f（x）在区间$[\frac{1}{e}，{e^2}]$上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意求出f（1），由求导公式和法则求出f′（x）、f′（1），由条件和导数的几何意义列出方程，由极值点的条件列出方程，联立后求出a、b的值；
（2）由题意求出g（x），由求导公式和法则求出g′（x），根据导数与函数单调性的关系将条件转化：alnx≤2x在区间$[\frac{1}{e}，{e^2}]$上恒成立，对x分类讨论后，分离出a、构造函数后求导，由导数与函数单调性的关系求出单调区间、最值，由恒成立列出不等式，求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）由题意知，f（1）=1+a+b，
且f′（x）=1-$\frac{a}{x}-\frac{b}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-ax-b}{{x}^{2}}$，则f′（1）=1-a-b，
∵在点（1，f（1））处的切线过点（4，-2），
∴1-a-b=$\frac{3+a+b}{-3}$，即a+b-3=0，①
∵x=2时，y=f（x）有极值，
∴f′（2）=$\frac{4-2a-b}{4}$=0，即4-2a-b=0，②
由①②解得，a=1、b=2；
（2）由题意知g（x）=x•f（x）=x²-axlnx+ax+b，
则g′（x）=2x-a（lnx+1）+a=2x-alnx，
∵函数g（x）在区间$[\frac{1}{e}，{e^2}]$上单调递增，
∴g′（x）=2x-alnx≥0，即alnx≤2x在区间$[\frac{1}{e}，{e^2}]$上恒成立，
①当x∈$[\frac{1}{e}，1）$时，lnx＜0，alnx≤2x化为$a≥\frac{2x}{lnx}$，
设$h（x）=\frac{2x}{lnx}$，则$h′（x）=\frac{2（lnx-1）}{（lnx）^{2}}$＜0，
∴h（x）在$[\frac{1}{e}，1）$上递减，则h（x）的最大值是h（$\frac{1}{e}$），
则$a≥h（\frac{1}{e}）=-\frac{2}{e}$，即$a≥-\frac{2}{e}$；
②当x∈（1，e²]时，lnx＞0，alnx≤2x化为$a≤\frac{2x}{lnx}$，
设$h（x）=\frac{2x}{lnx}$，则$h′（x）=\frac{2（lnx-1）}{（lnx）^{2}}$，
∴h（x）在（1，e]上递减，在（e，e²]上递增，
则h（x）的最小值是h（e）=2e，即a≤2e；
③当x=1时，alnx≤2x在区间$[\frac{1}{e}，{e^2}]$上恒成立，
综上可得，实数a的取值范围是$[-\frac{2}{e}，2e]$．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，导数的几何意义，以及恒成立的转化问题，考查转化思想，分类讨论思想，分析、解决问题的能力．