Question

17．已知函数f（x）=xe^-x+（x-2）e^x-a
（1）当a=0时，求f（x）的单调区间；
（2）当a＞2时，若e^x•f（x）≥x²-2x+1对任意x≥1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）a=0时，f（x）=xe^-x+（x-2）e^x，f′（x）=（x-1）（e^x-e^-x），令f′（x）=0，解得x=0，1，进而可得其单调区间．
（2）令g（x）=e^x•f（x）-（x²-2x+1）=（x-2）e^2x-a-x²+3x-1．（x≥1）．g（1）=1-e^2-a∈（0，1）．g′（x）=（2x-3）（e^2x-a-1）．令g′（x）=0，解得x₁=$\frac{3}{2}$，x₂=$\frac{a}{2}$＞1．对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答 解：（1）a=0时，f（x）=xe^-x+（x-2）e^x，f′（x）=e^-x-xe^-x+e^x+（x-2）e^x=（x-1）（e^x-e^-x），
令f′（x）=0，解得x=0，1，
可得：

x	（-∞，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

由表格可知：单调递增区间为：（-∞，0），（1，+∞）；单调递减区间为：（0，1）．
（2）令g（x）=e^x•f（x）-（x²-2x+1）=（x-2）e^2x-a-x²+3x-1．（x≥1）．
g（1）=1-e^2-a∈（0，1）．
g′（x）=e^2x-a+2（x-2）e^2x-a-2x+3=（2x-3）（e^2x-a-1）．
令g′（x）=0，解得x₁=$\frac{3}{2}$，x₂=$\frac{a}{2}$＞1．
①a＞3时，x₂＞x₁，可得x=$\frac{a}{2}$时g（x）取得极小值，$g（\frac{a}{2}）$=-$\frac{{a}^{2}}{4}$+2a-3．令$g（\frac{a}{2}）$≥0，解得2≤a≤6．∴3＜a≤6．
②a=3时，x₂=x₁，可得x=$\frac{3}{2}$时g（x）取得极小值，g（$\frac{3}{2}$）=$\frac{3}{4}$＞0，满足条件．
③2＜a＜3时，x₂＜x₁，可得x=$\frac{3}{2}$时g（x）取得极小值，g（$\frac{3}{2}$）=$\frac{3}{4}$＞0，满足条件．
综上可得：a的取值范围是：（2，6]．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．