题目内容
2．已知数列{an}满足a1=3，an+1=2an-n+1，数列{bn}满足b1=2，bn+1=bn+an-n．（1）证明：{an-n}为等比数列；
（2）数列{cn}满足${c_n}=\frac{{{a_n}-n}}{{（{{b_n}+1}）（{{b_{n+1}}+1}）}}$，求数列{cn}的前n项和Tn，求证：Tn$＜\frac{1}{3}$．
分析 （1）an+1=2an-n+1，可得an+1-（n+1）=2（an-n），即bn+1=2bn．即可证明．
（2）由（1）可得：bn=an-n=2n．可得${c_n}=\frac{{{a_n}-n}}{{（{{b_n}+1}）（{{b_{n+1}}+1}）}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）（{2}^{n+1}+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$．利用裂项求和方法、数列的单调性即可证明．
解答 证明：（1）∵an+1=2an-n+1，∴an+1-（n+1）=2（an-n），即bn+1=2bn．
∵a1-1=2，∴{an-n}是以2为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）可得：bn=an-n=2n．
∴${c_n}=\frac{{{a_n}-n}}{{（{{b_n}+1}）（{{b_{n+1}}+1}）}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）（{2}^{n+1}+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$．
∴Tn=$（\frac{1}{2+1}-\frac{1}{{2}^{2}+1}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}+1}-\frac{1}{{2}^{3}+1}）$+…+$（\frac{1}{{2}^{n}+1}-\frac{1}{{2}^{n+1}+1}）$
=$\frac{1}{3}-\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$$＜\frac{1}{3}$．
点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的定义通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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