Question

已知等差数列{a_n}的前n项和是S_n，a₁=1，数列{b_n}对于任意的n∈N^*都有2ⁿS_n=n²b_n成立，且b₃=a₂+a₃．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）如果数列{b_n}的前n项和为T_n，对于任意的n∈N^*都有k（T_n+2）≥S_2n恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据等差数列的通项公式，即可求出数列的公差，即可求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）求出数列{b_n}的前n项和为T_n，将不等式恒成立进行转化，构造数列，求出数列的最值即可求出k的取值服务．

解答： 解：（1）对于任意的n∈N^*都有2ⁿS_n=n²b_n成立，当n=3时，8（3a₁+3d）=9b₃，
∵b₃=a₂+a₃=2a₁+3d=2+3d，
∴解得d=2，
当d=2时，a_n=2n-1，S_n=n²，
故b_n=2ⁿ．
（2）∵S_n=n²，
∴T_n=2ⁿ⁺¹-2，
k（T_n+2）≥S_2n恒成立等价为k•2ⁿ⁺¹≥4n²，
即k≥

4n2

2n+1

恒成立，
设c_n=

4n2

2n+1

，则c_n+1-c_n=

4(n+1)2

2n+2

-

4n2

2n+1

=

-n2+2n+1

2n

≥0，
解得n≤1+

2

，
则c_n≤c₃=

9

4

，
即k≥

9

4

．

点评：本题主要考查等差数列的通项公式的计算，以及数列求和的应用，考查学生的计算能力，综合性较强，有一定的难度．