Question

19．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+cos²$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{2}$，△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）求f（x）的单调递增区间及对称轴的方程；
（2）若f（B+C）=1，a=$\sqrt{3}$，b=1，求角C的大小．

Answer 1

分析 （1）由三角形公式化简可得f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$），易得单调区间和对称轴；
（2）由（1）和三角形知识可得B+C=$\frac{π}{3}$，可得A=$\frac{2π}{3}$，由正弦定理可得sinB，可得B值，进而由三角形的内角和可得C．

解答 解：（1）化简可得f（x）=$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+cos²$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•2sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$（2cos²$\frac{x}{2}$-1）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx=sin（x+$\frac{π}{6}$）
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得2kπ-$\frac{2π}{3}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{3}$，
∴f（x）的单调递增区间为：[2kπ-$\frac{2π}{3}$，2kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z，
由x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$可得x=kπ+$\frac{π}{3}$，
∴f（x）的对称轴的方程为x=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z；
（2）由（1）可得f（B+C）=sin（B+C+$\frac{π}{6}$）=1，
结合三角形内角的范围可得B+C+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，∴B+C=$\frac{π}{3}$，
∴A=π-（B+C）=$\frac{2π}{3}$，由正弦定理可得sinB=$\frac{b}{a}$sinA=$\frac{1}{\sqrt{3}}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$
∴B=$\frac{π}{6}$，C=$\frac{π}{6}$

点评 本题考查解三角形，涉及三角函数的单调性和对称性以及正弦定理，属中档题．