Question

4．已知抛物线y²=8x，过点P（2，0）作倾斜角为α的直线l，直线l与抛物线交于A、B两点．
（1）当α=45°时，写出直线l的参数方程；
（2）当α=45°时，求线段AB的中点M到点P的距离和中点M的坐标；
（3）若α为任意角，求2（$\frac{1}{|AP|}$+$\frac{1}{|BP|}$）的值．

Answer 1

分析 （1）运用直线的参数方程形式，可得所求直线的参数方程；
（2）将（1）的参数方程代入抛物线方程，再由韦达定理和中点坐标公式，可得中点M到点P的距离和中点M的坐标；
（3）求出直线的参数方程，代入抛物线方程，运用韦达定理，代入要求的式子，化简整理，结合同角的平方关系，即可得到所求值．

解答 解：（1）当α=45°时，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcos45°}\\{y=tsin45°}\end{array}\right.$即为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）；
（2）将$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）代入抛物线y²=8x，可得t²-8$\sqrt{2}$t-32=0，
即有t₁+t₂=8$\sqrt{2}$，则中点M到点P的距离为$\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{2}$=4$\sqrt{2}$；
且有x=2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$×4$\sqrt{2}$=6，y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×4$\sqrt{2}$=4．即中点M的坐标为（6，4）；
（3）若α为任意角，则直线的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），
代入抛物线方程，可得t²sin²α-8tcosα-16=0，
即有t₁+t₂=$\frac{8cosα}{si{n}^{2}α}$，t₁t₂=-$\frac{16}{si{n}^{2}α}$，
则2（$\frac{1}{|AP|}$+$\frac{1}{|BP|}$）=2（$\frac{1}{|{t}_{1}|}$+$\frac{1}{|{t}_{2}|}$）
=2$\frac{|{t}_{1}|+|{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=2$\frac{\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$
=2$\frac{\sqrt{\frac{64co{s}^{2}α}{si{n}^{4}α}+\frac{64}{si{n}^{2}α}}}{\frac{16}{si{n}^{2}α}}$=2•$\frac{\sqrt{64（co{s}^{2}α+si{n}^{2}α）}}{16}$
=2•$\frac{8}{16}$=1．

点评 本题考查直线的参数方程的求法和运用，考查直线和抛物线的位置关系，注意运用韦达定理，化简整理，属于中档题．