题目内容
11.如图,在底面为菱形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC=60°,SA=AB=a,SB=SD=$\sqrt{2}$SA,点P在SD上,且SD=3PD,(1)证明:BD⊥平面SAC;
(2)若过点B的平面与SC、SD分别交于点E、F,且平面BEF∥平面APC,求SE的长度.
分析 (1)证明SA⊥平面ABCD,可得BD⊥SA,ABCD是菱形,可得BD⊥AC,即可证明BD⊥平面SAC;
(2)证明F是SP的中点,E是SC的中点,求出SC,即可求SE的长度.
解答 (1)证明:菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=a,
∴AB=AD=AC=a,
∵SA=a,SB=$\sqrt{2}$a,
∴AB2+SA2=SB2,
∴SA⊥AB,
同理SA⊥AD,
∵AB∩AD=A,
∴SA⊥平面ABCD,
∵BD∈平面ABCD,
∴BD⊥SA,
连接AC,BD交于点O,
∵ABCD是菱形,∴BD⊥AC,
∵SA∩AC=A,
∴BD⊥平面SAC;
(2)解:连接PO,
∵O是菱形ABCD的对角线的交点,
∴BO=DO,
∵平面BEF∥平面APC,∴PC∥EF,
同理PO∥EF,
∴△BDF中,PO是中位线,
∵SD=3PD,
∴PD=PF=$\frac{1}{3}$SD,
∴F是SP的中点,
∵PC∥EF,
∴E是SC的中点,
△SAC中,SA=AC=a,
∵SA⊥平面ABCD,
∴SA⊥AC,
∴SC=$\sqrt{2}$SA=$\sqrt{2}a$,
∴SE=$\frac{1}{2}$SC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a.
点评 本题考查线面垂直的判定与性质,考查平面与平面平行的性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
练习册系列答案
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6.已知函数f(x)=$\sqrt{3}sin($ωx-φ)+cos(ωx-φ)(ω≠0,|φ|<$\frac{π}{2}$)为偶函数,则φ=( )
A. | -$\frac{π}{3}$ | B. | $\frac{π}{3}$ | C. | -$\frac{π}{4}$ | D. | $\frac{π}{4}$ |
16.下列叙述不正确的是( )
A. | 无穷小量与无穷大量的商为无穷小量 | |
B. | 无穷小量与有界量的积是无穷小量 | |
C. | 无穷大量与有界量的积是无穷大量 | |
D. | 无穷大量与无穷大量的积是无穷大量 |