Question

11．关于x的一元二次方程x²+2mx+m²-$\frac{m}{2}$-$\frac{3}{2}$=0没有正实根，则m的取值范围为m≥$\frac{3}{2}$或m＜-3．

Answer 1

分析 根据方程根与判别式△之间的关系进行求解即可．

解答 解：判别式△=4m²-4（m²-$\frac{m}{2}$-$\frac{3}{2}$）=2m+6，
若判别式△＜0，得2m+6＜0，即m＜-3，此时方程无解，满足方程没有正实根．
若判别式△=0，则2m+6=0，解得m=-3，
此时方程的根为x=-$\frac{2m}{2}$=-m=3，方程的根为正数，不满足条件．
若判别式△＞0，
则2m+6＞0，解得m＞-3．
若一元二次方程x²+2mx+m²-$\frac{m}{2}$-$\frac{3}{2}$=0有0根，
则m²-$\frac{m}{2}$-$\frac{3}{2}$=0，即2m²-m-3=0，解得m=-1或m=$\frac{3}{2}$，
当m=-1时，方程为x²-2x=0，解得x=0或2，有一个正根，不满足条件．
当m=$\frac{3}{2}$时，方程为x²+3x=0，解得x=0或-3，没有正根，满足条件．
故此时m=$\frac{3}{2}$．
当m≠$\frac{3}{2}$且m≠-1时，一元二次方程x²+2mx+m²-$\frac{m}{2}$-$\frac{3}{2}$=0没有0根，
此时一元二次方程x²+2mx+m²-$\frac{m}{2}$-$\frac{3}{2}$=0有两个不同的负数根，
则$\left\{\begin{array}{l}{m＞-3且m≠-1且m≠\frac{3}{2}}\\{-2m＜0}\\{{m}^{2}-\frac{m}{2}-\frac{3}{2}＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m＞-3且m≠-1且m≠\frac{3}{2}}\\{m＞0}\\{m＞\frac{3}{2}或m＜-1}\end{array}\right.$，
解得m＞$\frac{3}{2}$，
综上m≥$\frac{3}{2}$或m＜-3
故答案为：m≥$\frac{3}{2}$或m＜-3

点评 本题主要考查一元二次方程根的分布，根据判别式△与根的关系是解决本题的关键．综合性较强，需要进行分类讨论．