Question

【题目】如图，多面体中，面为矩形，面面，.

（1）求证：面面；

（2）已知多面体各顶点均在同一球面上，且该球的表面积为，，当这个多面体的体积取得最大值时求其侧视图的面积.

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）.

【解析】

（1）由已知面面垂直得线面垂直，从而得线线垂直，再结合已知线线垂直得线面垂直，证得面面垂直；

（2）找出球心为与的交点，由球面积求出直径的长，得，可得多面体的体积取得最大值时，到的距离取最大值，从而易得侧视图面积．

（1）面为矩形，面面，，面面，

∴平面，∴，又，

∴平面．又平面，

∴面面．

（2）设与交于点，是中点，连接，则，从而平面主，是外心，∴是多面体中外接球球心，

由，得，又，

∴．又，为直角三角形，

∴当斜边上的高等于时，体积取得最大值.

此时其侧视图也为直角三角形，面积为．