Question

【题目】已知（，是自然对数的底数）.

（1）求函数的单调区间；

（2）曲线在、处的切线平行，线段的中点为，求证：.

Answer 1

【答案】（1）的单调增区间是，的单调减区间是，.（2）见解析

【解析】

（1）先求导，再根据导数和函数单调性的关系即可求出单调区间，

（2）由题意可得，即，再根据基本不等式可得．即可证明，再根据函数的单调性可得，

设，，根据导数和函数的最值即可证明

解：（1）由函数得，，且.

∵，∴.

由不等式得，由不等式得，或.

所以的单调增区间是，的单调减区间是，.

（2）因曲线在、处的切线平行，

所以，即，

∴，

∴，即.

∵，即

∴.∴.

由（1）知，在区间上递增，在区间递减，且.

所以，当时，.

∴.

设，当时，.

令，∴，即，

∴，即，

∴函数在区间上单调递增，∴.

∴在区间上单调递增.

当时，.

所以，.