Question

【题目】椭圆的离心率为，其右焦点到点的距离为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆相交于，两点(，不是左右顶点)，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证直线过定点，并求出该定点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析，

【解析】

（1）由右焦点到点的距离为得到，解出，由椭圆离心率为，得到，解出，由，即可求得椭圆方程；

（2）记椭圆右顶点为点，设，，联立直线与椭圆方程，消去并整理，由韦达定理得到根与系数的关系，再利用以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，可得，化简整理可得与的关系，可证直线过定点，求出该定点的坐标即可.

解:（1）右焦点到点的距离为，

，解得，

又椭圆的离心率为，

，解得，

，

所求椭圆C的标准方程为.

（2）记椭圆右顶点为点，则，

设，，

联立直线与椭圆方程，得，

消去得，

，即，

，，

，

以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，

，即，

又，，

，

，

整理得，

解得，均满足，

当时，：，直线过定点(2，0)，与已知矛盾，

当时， ：，直线过定点，

综上所述，直线过定点，定点坐标为.