Question

【题目】已知函数为奇函数，且的极小值为.为函数的导函数.

（1）求和的值；

（2）若关于的方程有三个不等的实数根，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】

（1）由为奇函数可得，然后将代入中，求出的极小值，根据的极小值为，可求出，的值；

（2）构造函数，将问题转化为与轴有三个交点的问题，根据的单调性可得，从而求出的取值范围．

解：（1）因为是奇函数，

所以恒成立，

则，

所以，

所以，

则，

令，解得或，

当时，，

当时，，

在单调递减，在单调递增，

所以的极小值为，

由，

解得，

所以，，

（2）由（1）可知，，

方程，

即为，

即方程有三个不等的实数根，

设，只要使曲线有3个零点即可，

设，

或分别为的极值点，

当和时，

，在和上单调递增，

当时，

在上单调递减，

所以，为极大值点，为极小值点.

所以要使曲线与轴有3个交点，当且仅当，

即，

解得.

即实数的取值范围为.