Question

【题目】在平面四边形(图①)中，与均为直角三角形且有公共斜边，设，∠，∠，将沿折起，构成如图②所示的三棱锥，且使=.

（1）求证：平面⊥平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）取AB的中点O，连接，证得，从而证得C′O⊥平面ABD，再结合面面垂直的判定定理，即可证得平面⊥平面；

（2）以O为原点，AB，OC所在的直线为y轴，z轴，建立的空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.

(1)取AB的中点O，连接，，

在Rt△和Rt△ADB中，AB=2，则=DO=1，

又C′D= ，所以，即⊥OD，

又⊥AB，且AB∩OD=O，平面ABD，所以⊥平面ABD，

又C′O平面，所以平面⊥平面DAB

（2）以O为原点，AB，OC所在的直线为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0，-1，0)，B(0，1，0)，C′(0，0，1)， ，

所以，，，

设平面的法向量为=()，

则， 即，代入坐标得，

令，得，，所以，

设平面的法向量为=（），

则， 即， 代入坐标得，

令，得，，所以，

所以，

所以二面角A-C′D-B的余弦值为.