Question

3．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-2与x=1时都取得极值
（Ⅰ） 求a，b的值与函数f（x）的单调区间
（Ⅱ）若对x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f′（x）并令其=0得到方程，把x=1和x=-2代入求出a、b即可；
（Ⅱ）求出f（x）在[-1，2]的最大值，得到关于c的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+2ax+b，
∵函数在x=1，x=-2时都取得极值，
∴1，-2是3x²+2ax+b=0的两个根，
1-2=-$\frac{2}{3}$a，-2=$\frac{b}{3}$，
∴a=$\frac{3}{2}$，b=-6，
∴f（x）=x³+$\frac{3}{2}$x²-6x+c，f′（x）=3x²+3x-6=3（x+2）（x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-2，
令f′（x）＜0，解得：-2＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，-2）递增，（-2，1）递减，（1，+∞）递增；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）在[-1，1）递减，在（1，2]递增，
∴f（x）_max=f（-1）=$\frac{13}{2}$+c＜c²，
解得：c＞2或c＜-1．

点评 本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．