Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=n²-n．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足b_n+1=2b_n-a_n且b₁=4，
（i）证明：数列{b_n-2n}是等比数列，并求{b_n}的通项；
（ii）当n≥2时，比较b_n-1•b_n+1与b_n²的大小．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，利用已知条件能求出a_n=2n-2．
（Ⅱ）（i）由已知得b_n+1-2（n+1）=2（b_n-2n），且b₁-2=2，由此能证明数列{b_n-2n}是以2为首项，2为公比的等比数列，从而得到bn=2n+2n．
（ii）当n≥2时，利用作差法得到bn-1•bn+1-bn2=2ⁿ（n-3）-4，由此能比较b_n-1•b_n+1与b_n²的大小．

解答： （Ⅰ）解：∵S_n=n²-n，
∴当n=1时，a₁=S₁=0，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-n-[（n-1）²-（n-1）]=2n-2，
∵n=1时满足上式，
∴a_n=2n-2．
（Ⅱ）（i）证明：由已知得b_n+1=2b_n-2n+2，
即b_n+1-2（n+1）=2（b_n-2n），且b₁-2=2，
∴数列{b_n-2n}是以2为首项，2为公比的等比数列，
则bn-2n=2n，∴bn=2n+2n．
（ii）解：当n≥2时，∵bn-1•bn+1-bn2
=[2^n-1+2（n-1）]•[2ⁿ⁺¹+2（n+1）]-（2ⁿ+2n）²
=2²ⁿ+2ⁿ（n+1）+2ⁿ×4（n-1）+4（n²-1）-（2²ⁿ+4n×2ⁿ+4n²）
=2ⁿ（n-3）-4，
∴当n=2或n=3时，bn-1•bn+1＜bn2，
当n≥4时，bn-1•bn+1＞bn2．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查等比数列的证明，考查两个式子大小的比较，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．