Question

5．已知函数f（x）=ax²-x（x∈R，a≠0），g（x）=lnx．若函数h（x）=f（x）-g（x）有两个不同的零点，则a的取值范围是0＜a＜1．

Answer 1

分析 先由f（x）=g（x）分离a，即求出a的表达式，再构造函数k（x）=$\frac{lnx+x}{{x}^{2}}$，再求导判断单调性以及最值和特殊函数值的符号，求出满足条件的a的范围．

解答 解：由h（x）=f（x）-g（x）=0，得ax²-x=lnx（a≠0，x＞0），即a=$\frac{lnx+x}{{x}^{2}}$．
令k（x）=$\frac{lnx+x}{{x}^{2}}$，则k′（x）=$\frac{1-x-2lnx}{{x}^{3}}$，
当0＜x＜1时，1-x-2lnx＞0，即k′（x）＞0，
∴k（x）在（0，1）上单调递增，且k（e^-1）=$\frac{-1+{e}^{-1}}{{e}^{-2}}$＜0，
当x＞1时，1-x-2lnx＜0，即k′（x）＜0，
∴k（x）在（1，+∞）上单调递减，且$\frac{lnx+x}{{x}^{2}}$．＞0，
∴k（x）在x=1处取得最大值k（1）=1，
故要是y=a和y=$\frac{lnx+x}{{x}^{2}}$的图象有两个交点，只需0＜a＜1．
故答案为：0＜a＜1．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的零点，正确转化是解题的关键．