Question

17．已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与双曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1有公共的焦点，C₂的一条渐近线与以C₁的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C₁恰好将线段AB三等分，则（　　）

• A． a²=$\frac{11}{2}$
• B． a²=11
• C． b²=$\frac{1}{2}$
• D． b²=2

Answer 1

分析 双曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1，可得c=$\sqrt{10}$=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，取其渐近线方程y=2x，|AB|=2a．假设渐近线与椭圆相交于C，D，可得|CD|=$\frac{2a}{3}$．y=2x与椭圆方程联立可得|CD|²，即可得出．

解答 解：双曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1，可得c=$\sqrt{2+8}$=$\sqrt{10}$=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，取其渐近线方程y=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$x=2x，
以C₁的长轴为直径的圆的方程为：x²+y²=a²．|AB|=2a．
假设渐近线与椭圆相交于C，D，则|CD|=$\frac{2a}{3}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，化为：x²=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+4{a}^{2}}$，y²=$\frac{4{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+4{a}^{2}}$．
∴|CD|²=4（$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+4{a}^{2}}$+$\frac{4{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+4{a}^{2}}$）=$\frac{4{a}^{2}}{9}$，又b²=a²-10，
解得a²=11．
故选：B．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．