题目内容
15．已知点P是抛物线y=ax2上的一个动点，且点P到点A（2，0）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为$\sqrt{5}$，则a的值为（ ）| A． | $\frac{1}{4}$ | B． | 4 | C． | $±\frac{1}{4}$ | D． | ±4 |
分析 利用抛物线的定义，将抛物线上的点P到该抛物线准线的距离转化为点P到其焦点F的距离，当F、P、A共线时即可满足题意，从而可求得距离之和的最小值．
解答 解：抛物线x2=$\frac{1}{a}$y的焦点F的坐标为F（0，$\frac{1}{4a}$），抛物线x2=$\frac{1}{a}$y的准线方程为y=-$\frac{1}{4a}$，
设点P到该抛物线准线y=-$\frac{1}{4a}$的距离为d，
由抛物线的定义可知，d=|PF|，
∴|PA|+d=|PA|+|PF|≥|FA|（当且仅当F、P、A三点共线时（P在F，A中间）时取等号），
∴点P到点A（2，0）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为|AM|，
∵F（0，$\frac{1}{4a}$），A（2，0），△FOA为直角三角形，
∴|AM|=$\sqrt{4+\frac{1}{16{a}^{2}}}$=$\sqrt{5}$，
∴a=±$\frac{1}{4}$
故选：C．
点评 本题考查抛物线的简单性质，着重考查抛物线的定义的应用，突出转化思想的运用，属于中档题．
练习册系列答案
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20．
为了调查学生星期天晚上学习时间利用问题，某校从高二年级1000名学生（其中走读生450名，住宿生550名）中，采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷调查，根据问卷取得了这n名同学每天晚上学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组①[0，30）②[30，60）③[60，90），④[90，120），⑤[120，150），⑥[150，180），⑦[180，210），⑧[210，240），得到频率分布直方图如下，已知抽取的学生中星期天晚上学习时间少于60分钟的人数为5人：
（I）求n的值并补全下列频率分布直方图；
（II）如果把“学生晚上学习时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，完成下列2×2列联表：
据此资料，你是否认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关？
（III）若在第①组、第 ②组、第⑧组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“学习时间少于60分钟”的学生人数为X，求X的分布列及期望；
参考公式：${k^2}=\frac{{n{{（{{n_{11}}{n_{22}}-{n_{12}}{n_{21}}}）}^2}}}{{{n_{11}}{n_{21}}{n_{12}}{n_{22}}}}$．
为了调查学生星期天晚上学习时间利用问题，某校从高二年级1000名学生（其中走读生450名，住宿生550名）中，采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷调查，根据问卷取得了这n名同学每天晚上学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组①[0，30）②[30，60）③[60，90），④[90，120），⑤[120，150），⑥[150，180），⑦[180，210），⑧[210，240），得到频率分布直方图如下，已知抽取的学生中星期天晚上学习时间少于60分钟的人数为5人：（I）求n的值并补全下列频率分布直方图；
（II）如果把“学生晚上学习时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，完成下列2×2列联表：
| 利用时间充分 | 利用时间不充分 | 总计 | |
| 走读生 | |||
| 住宿生 | 10 | ||
| 总计 |
（III）若在第①组、第 ②组、第⑧组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“学习时间少于60分钟”的学生人数为X，求X的分布列及期望；
参考公式：${k^2}=\frac{{n{{（{{n_{11}}{n_{22}}-{n_{12}}{n_{21}}}）}^2}}}{{{n_{11}}{n_{21}}{n_{12}}{n_{22}}}}$．
4．若角α为第三象限角，则$\frac{α}{2}$角所在的象限是（ ）
| A． | 一或二 | B． | 一或三 | C． | 二或三 | D． | 二或四 |