Question

11．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n+1=2ⁿ，则a₁²+a₃²+a₅²+…+a_2n-1²等于（　　）

• A． $\frac{{4}^{n}-1}{3}$
• B． $\frac{1-{4}^{n}}{3}$
• C． $\frac{1{6}^{n}-1}{15}$
• D． $\frac{1-1{6}^{n}}{15}$

Answer 1

分析 由等比数列的前n项和S_n+1=2ⁿ，则a₁=S₁=1，a₂=S₂-S₁=2，则q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=2，数列{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，因此a_n²=4^n-1，数列{a_n²}是以1为首项，4为公比的等比数列，根据等比数列的前n项和的公式求得

解答 解：等比数列{a_n}的公比为q，
当n=1时，a₁=S₁=1，
a₂=S₂-S₁=（2²-1）-1=2，
q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=2，
∴等比数列的首项为1，公比q为2，
则a_n=2^n-1，
则a_n²=4^n-1，是首项为1，公比为4的等比数列，
所以，则a₁²+a₂²+…a_n²=$\frac{1-{4}^{n}}{1-4}$=$\frac{{4}^{n}-1}{3}$，
故选A．

点评 本题考查等比数列的性质及前n项和公式，考查计算能力，属于中档题．