Question

6．若函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=$\frac{1}{x+1}-lo{g}_{2}$（x+1），则不等式4f（x+1）＞7的解集为（　　）

• A． （2，+∞）
• B． （-∞，-1）∪（3，+∞）
• C． （-4，2）
• D． （-∞，-4）

Answer 1

分析 求出x＜0时，函数的解析式，当x＞0时，f（x）=$\frac{1}{x+1}-lo{g}_{2}$（x+1），函数单调递减，且f（x）＜1，即可解不等式．

解答 解：设x＜0，则-x＞0时，
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=$\frac{1}{x+1}-lo{g}_{2}$（x+1），
∴f（x）=-f（-x）=$\frac{1}{x-1}$+log₂（-x+1），
∵当x＞0时，f（x）=$\frac{1}{x+1}-lo{g}_{2}$（x+1），函数单调递减，且f（x）＜1，
∴不等式4f（x+1）＞7，即不等式f（x+1）＞$\frac{7}{4}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+1＜0}\\{\frac{1}{x}+lo{g}_{2}（-x）＞\frac{7}{4}}\end{array}\right.$，∴x＜-4．
故选D．

点评 本题考查解不等式，考查函数解析式的求解，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．