Question

4．判断并证明函数$y=x+\frac{4}{x}$在（0，+∞）上的单调性．

Answer 1

分析 函数$y=x+\frac{4}{x}$在（0，2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数，利用导数法，可证得结论．

解答 解：函数$y=x+\frac{4}{x}$在（0，2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数，理由如下：
∵$y=x+\frac{4}{x}$，
∴$y′=1-\frac{4}{{x}^{2}}$，
由x∈（0，+∞）得：
当x∈（0，2）时，y′＜0恒成立，
当x∈（2，+∞）时，y′＞0恒成立，
故函数$y=x+\frac{4}{x}$在（0，2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数．

点评 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，对勾函数的图象和性质，难度中档．