Question

1．已经集合A={x|（8x-1）（x-1）≤0}；集合C={x|a＜x＜2a+5}
（1）若${（\frac{1}{4}）^t}∈A$，求实数t的取值集合B；
（2）在（1）的条件下，若（A∪B）⊆C，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出集合A的等价条件，结合指数不等式的性质进行求解即可．
（2）根据集合的基本运算以及集合关系建立不等式关系进行求解即可．

解答 解：由已知集合A={x|（8x-1）（x-1）≤0}={x|$\frac{1}{8}$≤x≤1}…（2分）
（1）若${（\frac{1}{4}）^t}∈A$，即|$\frac{1}{8}$≤（$\frac{1}{4}$）^t≤1，即2^-3≤2^-2t≤2⁰…（4分）
则-3≤-2t≤0，
即0≤t≤$\frac{3}{2}$，故集合B=[0，$\frac{3}{2}$]…（6分）
（2）在（1）的条件下，A∪B=[0，$\frac{3}{2}$]…（8分）
由（A∪B）⊆C，即[0，$\frac{3}{2}$]⊆（a，2a+5），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤0}\\{2a+5≥\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，…（11分）
解得：-$\frac{7}{4}$≤a≤0…（12分）

点评 本题主要考查集合的基本运算以及集合关系的应用，根据不等式的性质求出 集合的等价条件是解决本题的关键．