Question

定义“正对数”：ln⁺x=

0，0＜x＜1 lnx，x≥1

，若a＞0，b＞0现有四个命题：
①ln⁺（a^b）=bln⁺a      
②ln⁺（ab）=ln⁺a+ln⁺b
③ln^+（

a

b

）≥ln⁺a-ln⁺b  
④ln⁺（a+b）≤ln⁺a+ln⁺b+ln2
其中正确的有（　　）

• A、①④
• B、③④
• C、①③④
• D、①②④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：由题意，根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断，由于在不同的定义域中函数的解析式不一样，故需要对a，b分类讨论，判断出每个命题的真假．

解答： 解：对于①，由定义，当a≥1时，a^b≥1，故ln⁺（a^b）=ln（a^b）=blna，又bln⁺a=blna，
故有ln⁺（a^b）=bln⁺a；
当0＜a＜1时，a^b＜1，故ln⁺（a^b）=0，又a＜1时bln⁺a=0，所以此时亦有ln⁺（a^b）=bln⁺a．
由上判断知①正确；
对于②，此命题不成立，可令a=2，b=

1

3

，则ab=

2

3

，由定义ln⁺（ab）=0，ln⁺a+ln⁺b=ln2，
所以ln⁺（ab）≠ln⁺a+ln⁺b；由此知②错误；
对于③，当a≥b＞0时，

a

b

≥1，此时ln+（

a

b

）=ln （

a

b

）≥0，
当a≥b≥1时，ln⁺a-ln⁺b=lna-lnb=ln（

a

b

），此时命题成立；
当a＞1＞b时，ln⁺a-ln⁺b=lna，此时

a

b

＞a，故命题成立；
同理可验证当1＞a≥b＞0时，ln+（

a

b

）≥ln+a-ln+b成立；
当

a

b

＜1时，同理可验证是正确的，故③正确；
④若0＜a+b＜1，b＞0时，左=0，右端≥0，显然成立；
若a+b＞1，则ln⁺（a+b）≤ln⁺a+ln⁺b+ln2?ln⁺

a+b

2

≤ln⁺a+ln⁺b，成立，故④正确．
故选C．

点评：本题考查新定义及对数的运算性质，理解定义所给的运算规则是解题的关键，本题考查了分类讨论的思想，逻辑判断的能力，综合性较强，探究性强．易因为理解不清定义及忘记分类讨论的方法解题导致无法入手致错．