Question

设f（x）=x²+bx+c（b，c∈R），若对一切x∈R，有f（x+

1

x

）＞0，且f（

2x2+3

x2+1

）的最大值为1，求b，c所满足的条件．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：要使对一切x∈R，有f（x+

1

x

）＞0，可转化成对一切满足|x|≥2的实数x，有f（x）≥0，求出

2x2+3

x2+1

的值域，再研究函数f（x）在其值域范围内的单调性，求出最大值，建立等量关系，求出b，c满足的条件．

解答： 解：因为|x+

1

x

|≥2，依题意，对一切满足|x|≥2的实数x，有f（x）＞0．
①当f（x）=0有实根时，f（x）=0的实根在区间[-2，2]内，设f（x）=x²+bx+c，所以

f(2)＞0 f(-2)＞0 -2＜- b 2 ＜2

，
即

4+2b+c＞0 4-2b+c＞0 -4＜b＜4

，又

2x2+3

x2+1

=2+

1

x2+1

∈（2，3]，
于是，f（

2x2+3

x2+1

）的最大值为f（3）=1，即9+3b+c=1，从而c=-3b-8．
故

4+2b-3b-8＞0 4-2b-3b-8＞0 -4＜b＜4

，解得b∈∅．
②当f（x）=0无实根时，△=b²-4c＜0，由二次函数性质知，
f（x）=x²+bx+c在（2，3]上的最大值只能在区间的端点处取得，
所以，当f（2）＞f（3）时，f（

2x2+3

x2+1

）无最大值．
于是，f（

2x2+3

x2+1

）存在最大值的充要条件是f（2）≤f（3），
即4+2b+c≤9+3b+c，所以，b≥-5．又f（

2x2+3

x2+1

）的最大值为f（3）=1，
即9+3b+c=1，从而c=-3b-8．由△=b²-4c＜0，得b²+12b+32＜0，即-8＜b＜-4．
所以b、c满足的条件为3b+c+8=0且-5≤b＜-4．
综上：3b+c+8=0且-5≤b＜-4．

点评：本题主要考查了利用函数的单调性求函数的最值，以及函数恒成立问题和函数最值与几何意义，属于中档题．