Question

11．已知函数f（x）=x³+mx+$\frac{1}{4}$，g（x）=-lnx，min{a，b}表示a，b中的最小值，若函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0）恰有三个零点，则实数m的取值范围是（-$\frac{5}{4}$，-$\frac{3}{4}$）．

Answer 1

分析 由已知可得m＜0，进而可得若h（x）有3个零点，则 $\sqrt{-\frac{m}{3}}$＜1，f（1）＞0，f（ $\sqrt{-\frac{m}{3}}$）＜0，解得答案．

解答 解：∵f（x）=x³+mx+$\frac{1}{4}$，
∴f′（x）=3x²+m，
若m≥0，则f′（x）≥0恒成立，函数f（x）=x³+mx+$\frac{1}{4}$至多有一个零点，
此时h（x）不可能有3个零点，故m＜0，
令f′（x）=0，则x=±$\sqrt{-\frac{m}{3}}$，
∵g（1）=0，
∴若h（x）有3个零点，则 $\sqrt{-\frac{m}{3}}$＜1，f（1）＞0，f（ $\sqrt{-\frac{m}{3}}$）＜0，
即$\left\{\begin{array}{l}{-3＜m＜0}\\{\frac{5}{4}+m＞0}\\{\frac{2m}{3}\sqrt{-\frac{m}{3}}+\frac{1}{4}＜0}\end{array}\right.$，
解得：m∈（-$\frac{5}{4}$，-$\frac{3}{4}$），
故答案为：（-$\frac{5}{4}$，-$\frac{3}{4}$）．

点评 本题考查的知识点是函数零点及零点个数的判断，分类讨论思想，函数和方程的思想，转化思想，难度中档．