Question

3．已知函数f（x）=e^x+ae^-x-2x是奇函数．
（Ⅰ）求实数a的值，并判断f（x）的单调性；
（Ⅱ）设函数g（x）=f（2x）-4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数的奇偶性，求出a的值，求出函数的导数，判断函数的单调性即可；
（Ⅱ）求出g（x）的表达式，通过讨论b的范围，结合函数的单调性从而确定b的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）因为f（x）=e^x+ae^-x-2x是奇函数，所以f（-x）=-f（x），
即e^-x+ae^x+2x=-（e^x+ae^-x-2x），解得a=-1，
因为f（x）=e^x-e^-x-2x，所以$f'（x）={e^x}+{e^{-x}}-2≥2\sqrt{{e^x}•{e^{-x}}}-2=0$，
当且仅当x=0时，等号成立，所以f（x）在（-∞，+∞）上单调递增．…（4分）
（Ⅱ）g（x）=f（2x）-4bf（x）
=e^2x-e^-2x-4x-4b（e^x-e^-x-2x）
=e^2x-e^-2x-4b（e^x-e^-x）+（8b-4）xg'（x）
=2e^2x+2e^-2x-4b（e^x+e^-x）+（8b-4）
=2[（e^x+e^-x）²-2b（e^x+e^-x）+4（b-1）]
=2[e^x+e^-x-2][e^x+e^-x-2（b-1）]．…（7分）
①当2（b-1）≤2即b≤2时，g'（x）≥0，等号仅当x=0时成立，
所以g（x）在（-∞，+∞）上单调递增．
而g（0）=0，所以对任意x＞0，g（x）＞0，
②当b＞2时，若x满足2＜e^x+e^-x＜2b-2，
即$0＜x＜ln（b-1+\sqrt{{b^2}-2b}）$时，g'（x）＜0，
而g（0）=0，因此当$0＜x＜ln（b-1+\sqrt{{b^2}-2b}）$时，g（x）＜0，不符合题意，
综上知，b的取值范围是（-∞，2]．…（12分）

点评 本题考查了函数的奇偶性、单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．