Question

已知9^a=16^b=12，c=

1

a

+

1

b

，函数f（x）=x²+2（c-1）x+m（x∈R）．
（1）求c的值；
（2）如果函数f（x）=0的两个根为x₁，x₂，求实数x₁²+x₂²的取值范围．

Answer 1

考点：根与系数的关系,对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用对数的换底公式及其运算法则即可得出；
（2）利用判别式及根与系数的关系即可得出．

解答： 解：（1）a=log₉12，b=log₁₆12，
∴

1

a

+

1

b

=

1

log912

+

1

log1612

=log₁₂9+log₁₂16=log₁₂144=2，
∴c=2．
（2）f（x）=x²+2x+m
△≥0即4-m≥0，m≤4．
x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(-2)2-2m=4-2m．
∵m≤4，
∴-2m≥-8，4-2m≥-4，
∴x₁+x₂≥-4．

点评：本题考查了对数的换底公式及其运算法则、一元二次方程的判别式及根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．