Question

一次函数f（x）是R上的增函数，已知f[f（x）]=16x+5
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=f（x）（x+1），求函数g（x）在区间[-1，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数的最值及其几何意义

专题：待定系数法,函数的性质及应用

分析：（1）设出一次函数f（x）的解析式，利用f[f（x）]=16x+5，求出f（x）的解析式；
（2）求出函数g（x）=f（x）（x+1），再求g（x）在区间[-1，1]上的最值即可．

解答： 解：（1）设f（x）=kx+b（k＞0），
∴f[f（x）]=k（kx+b）+b
=k²x+kb+b
=16x+5，
∴

k2=16 kb+b=5 k＞0

；
解得k=4，b=1；
∴f（x）=4x+1；
（2）∵函数g（x）=f（x）（x+1）
=（4x+1）（x+1）
=4x²+5x+1，
∴当x=-

5

2×4

=-

5

8

时，
g（x）取得最小值是g（x）_min=g（-

5

8

）=-

9

16

；
当x=1时，g（x）取得最大值是g（x）_max=g（1）=10；
∴函数g（x）在区间[-1，1]上的最大值是10，最小值是-

9

16

．

点评：本题考查了用待定系数法求函数解析式的应用问题，也考查了一次函数与二次函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．