Question

【题目】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为圆， 是上一点， ，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）当过点的动直线与椭圆相交于不同两点时，线段上取点，且满足，证明点总在某定直线上，并求出该定直线．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】试题分析：（1）本问主要考查求椭圆标准方程，由，可得，所以，则在中， ， ，再根据余弦定理及，可以求出的值，于是可以求出椭圆的方程；（2）本问主要考查直线与椭圆的综合应用，分析题意可知直线的斜率显然存在，故设直线方程为，再联立直线方程与椭圆方程，消去未知数得到关于的一元二次方程，根据韦达定理表示出两点横坐标之和及横坐标之积，于是设点 ， 将题中条件转化为横坐标的等式，于是可以得出满足的方程，即可以证明总在一条直线上.

试题解析：（1）由已知得，且，

在中，由余弦定理得，解得.

则，所以椭圆的方程为.

（2）由题意可得直线的斜率存在，

设直线的方程为，即，

代入椭圆方程，整理得，

设，则.

设，由得

（考虑线段在轴上的射影即可），

所以，

于是，

整理得，（*）

又，代入（*）式得，

所以点总在直线上.