Question

【题目】（文）已知矩形ABB1A1是圆柱体的轴截面，O、O1分别是下底面圆和上底面圆的圆心，母线长与底面圆的直径长之比为2：1，且该圆柱体的体积为32π，如图所示．

（1）求圆柱体的侧面积S侧的值；
（2）若C1是半圆弧 的中点，点C在半径OA上，且OC= OA，异面直线CC1与BB1所成的角为θ，求sinθ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设圆柱的底面圆的半径为R，依据题意，有AA1=2AB=4R，

∴πR2AA1=32π，

∴R=2．

∴S侧=2πRAA1=32π．

（2）解：设D是线段A1O1的中点，联结D1C，DC，O1C1，则C1O1⊥A1B1，CO∥BB1．

因此，∠C1CD就是异面直线CC1与BB1所成的角，即∠C1CD=θ．

又R=2，∠C1CD=，∠C1O1D=90°，

∴DC1= ，CC1= ．

∴sinθ= =

【解析】（1）利用圆柱体的体积为32π，求出R，即可求圆柱体的侧面积S侧的值；（2）设D是线段A1O1的中点，联结D1C，DC，O1C1 ， 则C1O1⊥A1B1 ， CO∥BB1 ， 因此，∠C1CD就是异面直线CC1与BB1所成的角，求出DC1= ，CC1= ，即可求sinθ的值．
【考点精析】本题主要考查了旋转体（圆柱、圆锥、圆台）和异面直线及其所成的角的相关知识点，需要掌握常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球；异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系才能正确解答此题．