题目内容
【题目】在长方体中,
,
是棱
上的一点.
(1)求证:平面
;
(2)求证:;
(3)若是棱
的中点,在棱
上是否存在点
,使得
平面
?若存在,求出线段
的长;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)当点是棱
的中点时,有
平面
.
【解析】
试题分析:(1)由平面
,可得
,在矩形
中,可证得
,根据线面垂直的判定定理即可证得
平面
;(2)由(1)可知,
平面
,根据线面垂直的性质可得
;(3)假设点
是棱
的中点时,有
平面
,在
上取中点
,连接
,
,根据线面平行的性质定理可得四边形
是平行四边形,所以
.
试题解析:(1)证明:在长方体中,
因为平面
,
平面
,所以
.
在矩形中,
因为,
所以,
因为,
所以平面
.
(2)证明:因为,所以
平面
,
由(1)可知,平面
,
所以.
(3)解:当点是棱
的中点时,有
平面
.
理由如下:
在上取中点
,连接
,
,
因为是棱
的中点,
是
的中点,
所以,且
,
又,且
,
所以,且
,
所以四边形是平行四边形,所以
.
又平面
,
平面
,
所以平面
,
此时.
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