Question

8．函数f（x）=2sin（2x+θ+$\frac{π}{3}$）（-$\frac{π}{2}$≤θ＜$\frac{3π}{2}$）为奇函数，且在[-$\frac{π}{4}$，0]上为减函数的θ值是$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 根据函数的奇偶性确定θ的取值，讨论k为奇数和偶数，运用正弦函数的单调性，即可得出结论．

解答 解：由于函数为奇函数，故有θ+$\frac{π}{3}$=kπ，
即：θ=kπ-$\frac{π}{3}$（k∈Z），
则f（x）=2sin（2x+kπ），
若k为偶数，则f（x）=2sin2x，在[-$\frac{π}{4}$，0]上是增函数，不满足条件；
若k为奇数，则f（x）=-2sin2x，在[-$\frac{π}{4}$，0]上是减函数，满足条件．
故满足条件的所有的θ=（2n+1）π-$\frac{π}{3}$=2nπ+$\frac{2π}{3}$，n∈Z．
∵-$\frac{π}{2}$≤θ＜$\frac{3π}{2}$，∴当θ=$\frac{2π}{3}$时，f（x）=-2sin2x其在区间[-$\frac{π}{4}$，0]上递减，
故答案为：$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查三角函数的化简，及诱导公式和两角和的正弦公式的运用，考查运算能力，属于中档题．