Question

9．如图1，已知四边形ABFD为直角梯形，$AB∥DF，∠ADF=\frac{π}{2}，△ADE$为等边三角形，AD=DF=2AF=2，C为DF的质点，如图2，将平面AED、BCF分别沿AD、BC折起，使得平面AED⊥平面ABCD，平面BCF⊥平面ABCD，连接EF、DF，设G为AE上任意一点．
（1）证明：DG∥平面BCF；
（2）求折起后的各平面围成的几何体的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出CD⊥平面AED，CD⊥平面BCF，从而平面AED∥平面BCF，由此能证明DG∥平面BCF．
（2）几何体由四棱锥F-ABCD和三棱锥F-ADE组成，分别求出体积，相加可得答案．

解答 证明：（1）由题意知BC⊥DC，
∵平面AED⊥平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，
又CD⊥AD，∴CD⊥平面AED，
同理，CD⊥平面BCF，
∴平面AED∥平面BCF，
又DC?平面AED，
∴DG∥平面BCF．
（2）几何体由四棱锥F-ABCD和三棱锥F-ADE组成，
∵FC⊥BC，FC⊥CD，CD∩BC=C，
∴FC⊥平面ABCD，
∴FC为四棱锥F-ABCD的高，
故V_F-ABCD=$\frac{1}{3}$×2×1×1=$\frac{2}{3}$；
又∵平面AED∥平面BCF，CF?平面BCF，
∴CF∥平面AED，
∴点F到平面AED的距离等于C到平面AED的距离，
由（1）得CD⊥平面AED，
∴F到平面AED的距离等于CD=1，
故V_F-ADE=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}$×1=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
故几何体的体积V=V_F-ABCD+V_F-ADE=$\frac{2+\sqrt{3}}{3}$

点评 本题考查线面平行的证明，棱锥的体积运算，难度中档．