Question

10．已知A，B是双曲线C的两个顶点，直线l与双曲线C交于不同的两点P，Q，且与实轴所在直线垂直，若$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{AQ}$=0，则双曲线C的离心率e=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），设直线x=t，代入双曲线的方程，求得P，Q的坐标，A，B的坐标，由于向量的坐标和数量积的坐标表示，计算即可得到离心率．

解答 解：设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），
设直线x=t，代入双曲线的方程可得y=±b$\sqrt{\frac{{t}^{2}}{{a}^{2}}-1}$，
由题意可得A（-a，0），B（a，0），P（t，b$\sqrt{\frac{{t}^{2}}{{a}^{2}}-1}$），Q（t，-b$\sqrt{\frac{{t}^{2}}{{a}^{2}}-1}$），
即有$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{AQ}$=（a-t，-b$\sqrt{\frac{{t}^{2}}{{a}^{2}}-1}$）•（a+t，-b$\sqrt{\frac{{t}^{2}}{{a}^{2}}-1}$）
=（a-t）（a+t）+b²（$\frac{{t}^{2}}{{a}^{2}}$-1）=a²-t²+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$（t²-a²）=0，
由于t≠a，可得a=b，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a}$=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．