Question

15．已知函数f（x）=$\sqrt{3}sinωx•cosωx+{cos^2}ωx-\frac{1}{2}$，（ω＞0），其最小正周期为$\frac{π}{2}$．
（1）求f（x）的表达式；
（2）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{24}$个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，若关于x的方程g（x）+m=0在区间$[{0，\frac{5π}{6}}]$上有且只有一个实数解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=$sin（{2ωx+\frac{π}{6}}）$，由题意及周期公式可求ω的值，即可得解．
（2）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得g（x）=sinx，在区间$[{0，\frac{5π}{6}}]$上有且只有一个实数解，即函数y=g（x）与y=-m在区间$[{0，\frac{5π}{6}}]$上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可解得实数m的取值范围．

解答 解：（1）$f（x）=\sqrt{3}sinωx•cosωx+{cos^2}ωx-\frac{1}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2ωx+\frac{1+cos2ωx}{2}-\frac{1}{2}$
=$sin（{2ωx+\frac{π}{6}}）$，
由题意知f（x）的最小正周期$T=\frac{π}{2}$，$T=\frac{2π}{2ω}=\frac{π}{ω}=\frac{π}{2}$，
所以ω=2，
所以$f（x）=sin（{4x+\frac{π}{6}}）$．
（2）将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{24}$个单位后，得到y=sin4x的图象；
再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到y=sinx的图象，
所以g（x）=sinx，g（x）+m=0在区间$[{0，\frac{5π}{6}}]$上有且只有一个实数解，即函数y=g（x）与y=-m在区间$[{0，\frac{5π}{6}}]$上有且只有一个交点，
由正弦函数的图象可知$0≤-m＜\frac{1}{2}或-m=1$，
解得$-\frac{1}{2}＜m≤0或m=-1$，
所以实数m的取值范围是$（{-\frac{1}{2}，0}]∪\left\{{-1}\right\}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，周期公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，考查了转化思想和数形结合能力，属于中档题．