Question

已知函数f（x）=

2x-1

2x+1

，x∈[-1，1]．
（Ⅰ）判断函数的奇偶性；
（Ⅱ）证明：函数f（x）在定义域内为增函数；
（Ⅱ）解不等式f(x-

1

2

)+f(

1

4

-2x)＜0．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）先判断定义域是否关于原点对称，再计算f（-x），与f（x）比较，即可得到奇偶性；
（Ⅱ）运用单调性的定义，注意作差、变形、定符号、下结论等步骤；
（Ⅲ）先由奇函数的定义，再由单调递增，即可得到不等式组

-1≤x- 1 2 ≤1 -1≤2x- 1 4 ≤1 x- 1 2 ＜2x- 1 4

，解出它们即可．

解答： （Ⅰ）解：定义域为[-1，1]关于原点对称，
f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-f（x），
则f（x）是奇函数；
（Ⅱ）证明：设-1≤m＜n≤1，
则f（m）-f（n）=

2m-1

2m+1

-

2n-1

2n+1

=

2(2m-2n)

(2m+1)(2n+1)

由于-1≤m＜n≤1，则0＜2^m＜2ⁿ，
即有2^m-2ⁿ＜0，2^m+1＞0，2ⁿ+1＞0，
则有f（m）-f（n）＜0，
则函数f（x）在定义域内为增函数；
（Ⅲ）解：不等式f(x-

1

2

)+f(

1

4

-2x)＜0，
即为f（x-

1

2

）＜-f（

1

4

-2x），
由f（-x）=-f（x），可得f（x-

1

2

）＜f（2x-

1

4

），
再由函数f（x）在[-1，1]内为增函数，
则有

-1≤x- 1 2 ≤1 -1≤2x- 1 4 ≤1 x- 1 2 ＜2x- 1 4

，即有

- 1 2 ≤x≤ 3 2 - 3 8 ≤x≤ 5 8 x＞- 1 4

，
解得，-

1

4

＜x≤

5

8

，
则解集为：（-

1

4

，

5

8

]．

点评：本题考查函数的奇偶性的判断，函数的单调性的证明，注意运用定义，考查奇偶性和单调性的运用，解不等式，考查运算能力，属于中档题和易错题．