Question

已知函数f（x）=mx+

1

nx

+

1

2

（m，n是常数），且f（1）=2，f（2）=

11

4

．
（1）求m，n的值；
（2）当x∈[1，+∞）时，判断f（x）的单调性并证明；
（3）若不等式f（1+2x²）＞f（x²-2x+4）成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：本题（1）根据条件得到参数的两个方程，解方程组得到本题结论；（2）利用函数单调定义加以证明，得到本题结论；（3）利用函数的单调性，得到相应的自变量的大小关系，解不等式得到本题结论．

解答： 解：（1）∵f(1)=m+

1

n

+

1

2

=2f(2)=2m+

1

2n

+

1

2

=

11

4

，
∴

m=1 n=2

．
（2）结论：f（x）在[1，+∞）上单调递增．下面证明．
证明：设1≤x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=x1+

1

2x1

+

1

2

-(x2+

1

2x2

+

1

2

)
=(x1-x2)(1-

1

2x1x2

)
=(x1-x2)(

2x1x2-1

2x1x2

)，
∵1≤x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，
∴2x₁x₂＞1，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[1，+∞）上单调递增．
（3）∵1+2x²≥1，x²-2x+4=（x-1）²+3≥3，
∴只须1+2x²＞x²-2x+4，
∴x²+2x-3＞0，
∴x＜-3或x＞1．
∴实数x的取值范围是：x＜-3或x＞1．

点评：本题考查了函数的解析式、函数的单调性定义和应用，本题难度不大，属于基础题．