Question

在R上定义的函数f（x）是偶函数，且f（x）=f（2-x），若f（x）在区间x∈[1，2）是减函数，则函数 f（x）（　　）

• A、在区间[-2，-1]上是减函数，区间[3，4]上是增函数
• B、在区间[-2，-1]上是减函数，区间[3，4]上是减函数
• C、在区间[-2，-1]上是增函数，区间[3，4]上是增函数
• D、在区间[-2，-1]上是增函数，区间[3，4]上是减函数

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：先再根据函数f（x）是偶函数，得到函数f（x）的图象关于y轴对称，根据条件f（x）=f（2-x），函数f（x）的图象关于直线x=1对称，由函数的对称性研究还可得到函数的周期性，利用已知f（x）在区间x∈[1，2）是减函数，得到函数f（x）在相关区间上的单调性，得到本题结论．

解答： 解：∵定义的函数f（x）是偶函数，
∴f（-x）=f（x），
函数f（x）的图象关于y轴对称，
∴f（x）在区间x∈[1，2]是减函数，
∴f（x）在区间x∈[-2，-1]是增函数
∵f（x）=f（2-x），
∴f（1+x）=f[2-（1+x）]=f（1-x），
函数f（x）的图象关于直线x=1对称．
∴f（x）在区间x∈[3，4]是减函数．
故选D．

点评：本题考查了函数的奇偶性与图象的对称性、单调性的关系，本题难度不大，属于基础题．