题目内容
已知f（x）=-x3-x+1（x∈R）．求证：满足f（x）=0的实数值最多只有一个．
考点：利用导数研究函数的极值
专题：导数的综合应用
分析：求出函数的导数，然后判断函数的单调性，然后说明满足f（x）=0的实数值最多只有一个．
解答：
解：f（x）=-x3-x+1（x∈R）．
可得：f′（x）=-3x2-1（x∈R）．
f′（x）=-3x2-1≤-1，
可知函数f（x）=-x3-x+1（x∈R）．是单调减函数．
又函数是连续函数，可知函数的图象与x轴只有一个交点．
∴满足f（x）=0的实数值最多只有一个．
可得：f′（x）=-3x2-1（x∈R）．
f′（x）=-3x2-1≤-1，
可知函数f（x）=-x3-x+1（x∈R）．是单调减函数．
又函数是连续函数，可知函数的图象与x轴只有一个交点．
∴满足f（x）=0的实数值最多只有一个．
点评：本题考查函数的单调性的判断与应用，考查转化思想的应用．
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