Question

5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosB+b=2a，b=6，a=4．
（1）求角C的大小；
（2）若点D在AB边上，AD=CD，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理及两角和的正弦公式，求得sinB=2sinBcosC，求得cosC=$\frac{1}{2}$，根据C的取值范围，即可求得角C的大小；
（2）由余弦定理求得c=2$\sqrt{7}$，设CD=x，在△ABC和△ACD中，分别应用余弦定理求得cosA=$\frac{2}{\sqrt{7}}$，cosA=$\frac{3}{x}$，联立即可求得CD的长．

解答 解：（1）由正弦定理可知：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R，（R为外接圆半径），
a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
由2ccosB+b=2a，2sinCcosB+sinB=2sinA=2sin（B+C）=2sinBcosC+2cosBsinC，
∴sinB=2sinBcosC，由B∈（0，π），则sinB≠0，
则cosC=$\frac{1}{2}$，
由C∈（0，π），
则C=$\frac{π}{3}$，
∴角C为$\frac{π}{3}$；
（2）由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=28，则c=2$\sqrt{7}$，
设CD=x，则在△ABC中，cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{36+28-16}{2×6×2\sqrt{7}}$=$\frac{2}{\sqrt{7}}$，
在△ACD中，cosA=$\frac{36+{x}^{2}-{x}^{2}}{2•6•x}$=$\frac{3}{x}$，
∴$\frac{2}{\sqrt{7}}$=$\frac{3}{x}$，解得：x=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$，
∴CD的长$\frac{3\sqrt{7}}{2}$．

点评 本题考查正弦定理及余弦定理的应用，考查两角和的正弦公式，考查计算能力，属于中档题．