Question

15．已知数列{a_n}满足a_n+1=$\sqrt{2}{a_n}，{a_3}$=2，它的前n项和S_n，求$（\sqrt{2}+1）{a_{31}}-{S_{30}}$的值．

Answer 1

分析 数列{a_n}满足a_n+1=$\sqrt{2}$a_n，可得：数列{a_n}是等比数列，公比为$\sqrt{2}$．由a₃=2，可得${a}_{1}（\sqrt{2}）^{2}$=2，解得a₁．再利用通项公式与求和公式即可得出．

解答 解：数列{a_n}满足a_n+1=$\sqrt{2}$a_n，可得：数列{a_n}是等比数列，公比为$\sqrt{2}$．
∵a₃=2，∴${a}_{1}（\sqrt{2}）^{2}$=2，解得a₁=1．
∴a₃₁=$1×（\sqrt{2}）^{30}$=2¹⁵，S₃₀=$\frac{（\sqrt{2}）^{30}-1}{\sqrt{2}-1}$=$（\sqrt{2}+1）（{2}^{15}-1）$．
∴$（\sqrt{2}+1）{a_{31}}-{S_{30}}$=$（\sqrt{2}+1）$2¹⁵-$（\sqrt{2}+1）（{2}^{15}-1）$=$\sqrt{2}$+1．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．