Question

1．已知函数f（x）=ax ²+a ²x+2b-a ³，当x∈（-2，6）时，f（x）＞0，当x∈（-∞，-2）∪（6，+∞）时，f（x）＜0，
（1）求f（x）的解析式．
（2）求f（x）在区间[1，10]上的最值．

Answer 1

分析 （1）利用函数的零点，列出方程求解即可．
（2）利用二次函数的闭区间求解最值即可．

解答 解：（1）由题意得a＜0，且x=-2，x=6是方程f（x）=0的两个根，由韦达定理得
$\left\{\begin{array}{l}{-2+6=-a}\\{-2×6=\frac{2b-{a}^{2}}{a}}\end{array}\right.$得 $\left\{\begin{array}{l}{a=-4}\\{b=-8}\end{array}\right.$，
∴．f（x）=-4x ²+16x+48   …（6分）
（2）f（x）=-4x ²+16x+48=-4（x-2）²+64，对称轴为x=2，开口向下，
∴f _max（x）=f（2）=64
f _min（x）=f（10）=-192   …（12分）

点评 本题考查二次函数的简单性质的应用，函数的解析式的求法，考查分析问题解决问题的能力．