Question

在△ABC中，a﹑b﹑c分别为内角A﹑B﹑C的对边，a上的高为h，且a=3h，则

c

b

+

b

c

的最大值为（　　）

• A、

  5

• B、

  13

• C、2
• D、

  15

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：由题意以及三角形的面积公式，可得bc=

3h2

2sinA

，由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，化简整理得

c

b

+

b

c

=3sinA+2cosA=

13

sin（α+A），再根据三角形函数求出最值．

解答： 解：S_△ABC=

1

2

ah=

3

2

h²，S_△ABC=

1

2

bcsinA，
∴bc=

3h2

sinA

由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，
∴b²+c²=9h²+2bccosA，
∴

c

b

+

b

c

=

b2+c2

bc

=

9h2+2bccosA

bc

=

9h2

bc

+2cosA=3sinA+2cosA=

13

sin（α+A），其中：sinα=

3

13

，cosα=

2

13

，
∵sin（α+A）的最大值为

13

∴

c

b

+

b

c

的最大值为

13

．
故选：B．

点评：本题主要考查基本不等式的应用和三角函数中的面积公式和余弦定理，培养了学生的转化思想，属于中档题