Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（b＞a＞0），O为坐标原点，离心率e=2，点M（

5

，

3

）在双曲线上．
（1）则双曲线的方程为

 

；
（2）若直线l与双曲线交于P，Q两点，且

OP

•

OQ

=0．则

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

的值为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用双曲线的离心率e=2，点M（

5

，

3

）在双曲线上，建立方程，结合c²=a²+b²，即可求得双曲线的方程；
（2）设OP直线方程为y=kx，OQ直线方程为y=-

1

k

x，分别与双曲线方程联立，计算

1

|OP|2

、

1

|OQ|2

可求得

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

的值．

解答： 解：（1）∵双曲线的离心率e=2，点M（

5

，

3

）在双曲线上，
∴

c

a

=2，

5

a2

-

3

b2

=1，
∵c²=a²+b²
∴a²=4，b²=12，
∴双曲线的方程为

x2

4

-

y2

12

=1；
（2）设OP直线方程为y=kx，OQ直线方程为y=-

1

k

x，
y=kx代入双曲线方程，可得

x2

4

-

k2x2

12

=1，
∴x²=

12

3-k2

，y²=

12k2

3-k2

，
∴

1

|OP|2

=

1

x2+y2

=

3-k2

12(1+k2)

；
同理，

1

|OQ|2

=

3k2-1

12(1+k2)

．
则

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

2+2k2

12(1+k2)

=

1

6

．
故答案为：

x2

4

-

y2

12

=1，

1

6

．

点评：本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．