Question

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为1的正方体．
（1）求异面直线BC₁与B₁D₁所成的角．
（2）求直线BC₁与平面ABCD所成的角．
（3）求二面角C₁-BD-A的正切值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,异面直线及其所成的角,直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：（1）由已知条件推导出∠DBC₁是异面直线BC₁与B₁D₁所成的角，由此能求出异面直线BC₁与B₁D₁所成的角．
（2）由题意知∠C₁BC是直线BC₁与平面ABCD所成的角，由此能求出直线BC₁与平面ABCD所成的角．
（3）以D为原点，DA，DC，DD₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C₁-BD-A的正切值．

解答： 解：（1）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为1的正方体．
B₁D₁∥BD，
∴∠DBC₁是异面直线BC₁与B₁D₁所成的角，
∵BD=BC₁=DC₁，
∴△BDC₁是等边三角形，
∴∠DBC₁=60°，
∴异面直线BC₁与B₁D₁所成的角为60°．
（2）∵CC₁⊥平面ABCD，
∴∠C₁BC是直线BC₁与平面ABCD所成的角，
在Rt△BCC₁中，
∵BC=CC₁，∠BCC₁=90°，
∴∠C₁BC=45°，
∴直线BC₁与平面ABCD所成的角为45°．
（3）以D为原点，DA，DC，DD₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），B（1，1，0），C₁（0，1，1），
∴

DB

=（1，1，0），

DC1

=（0，1，1），
设平面DBC₁的法向量

n

=(x，y，z)，则

n

•

DB

=0，

n

•

DC

=0，
∴

x+y=0 y+z=0

，取x=1，得

n

=（1，-1，1），
又平面BDA的法向量

m

=（0，0，1），
设二面角C₁-BD-A的平面角为θ，
则cosθ=cos＜

n

，

m

＞=

1

3

=

3

3

，∴sinθ=

1-( 3 3 )2

=

6

3

，
∴tanθ=

sinθ

cosθ

=

2

．
∴二面角C₁-BD-A的正切值为

2

．

点评：本题考查异面直线所成的角的求法，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．