Question

设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）（x²+bx+c），g（x）=（ax+1）（cx²+bx+1）．记集合S={x|f（x）=0，x∈R}，T={x|g（x）=0，x∈R}，若|S|，|T|分别为集合元素S，T的元素个数，则下列结论可能的是

 

①|S|=1且|T|=0   ②|S|=1且|T|=1  ③|S|=2且|T|=2     ④|S|=2且|T|=3．

Answer 1

考点：集合的表示法

专题：计算题,集合

分析：方程（x+a）（x²+bx+c）=0的解的个数取决于△=b²-4c，至少有一个x=-a；方程（ax+1）（cx²+bx+1）=0的解的个数取决于a是否等于0及△=b²-4c，讨论举例．

解答： 解：∵方程x²+bx+c=0若有实数根，则方程cx²+bx+1=0也有实数根，且相应的互为倒数，
且若a≠0，则方程x+a=0与方程ax+1=0的根也互为倒数．
若a=b=c=0，则满足|S|=1且|T|=0，故①正确；
若a=1，b=0，c=1，则满足|S|=1且|T|=1，故②正确；
若a=-1，b=2，c=1，则满足|S|=2且|T|=2，故③正确；
若|T|=3．则方程（ax+1）（cx²+bx+1）=0有三个不同的实根，则他们的倒数也不同，故|S|=3，则④错误．
故答案为①②③．

点评：本题考查了集合中元素的个数及集合元素的特征，同时考查了二次方程的解，属于中档题．