Question

4．如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=a，PA⊥平面ABCD，且PA=1，E，F分别为AD，PA中点，在BC上有且只有一个点Q，使得PQ⊥QD．
（1）求证：平面BEF∥平面PDQ；
（2）求二面角E-BF-Q的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A点为原点，分别以$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{AP}$的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，求出相关点的坐标，设Q（1，x，0），则$\overrightarrow{PQ}=（{1，x，-1}）$，利用PQ⊥QD，求出x=1．推出BE∥DQ，推出EF∥PD，EF∥平面PDQ，然后证明平面BEF∥平面PDQ．
（2）求出 平面BFQ是一个法向量，平面BEF的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可．

解答 解：（1）以A点为原点，分别以$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{AP}$的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，
建立空间直角坐标系Axyz，
则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，a，0），P（0，0，1），
设Q（1，x，0），则$\overrightarrow{PQ}=（{1，x，-1}）$，$\overrightarrow{DQ}=（{-1，a-x，0}）$，…（2分）
若PQ⊥QD，则$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{QD}=-1+x（{a-x}）=0$，
即x²-ax+1=0，△=a²-4，
∴△=0，a=2，x=1．…（4分）
∴$Q（{1，1，0}），\overrightarrow{QD}（{-1，1，0}）$，
又E是AD中点，∴E（0，1，0），$\overrightarrow{BE}=（{-1，1，0}）$，∴$\overrightarrow{QD}=\overrightarrow{BE}$，∴BE∥DQ，
又BE?平面PDQ，DQ?平面PDQ，∴BE∥平面PDQ，
又F是PA中点，∴EF∥PD，
∵EF?平面PDQ，PD?平面PDQ，∴EF∥平面PDQ，
∵BE∩EF=E，BE，EF?平面PDQ，∴平面BEF∥平面PDQ．…（6分）
（2）设平面BFQ是一个法向量$\overrightarrow m=（{x，y，z}）$，则$\overrightarrow m•\overrightarrow{BF}=\overrightarrow m•\overrightarrow{BQ}=0$，
由（1）知$\overrightarrow{BF}=（{-1，0，\frac{1}{2}}）$，$\overrightarrow{BQ}=（{0，1，0}）$，
∴$-x+\frac{1}{2}z=y=0$，取z=2，得$\overrightarrow m=（{1，0，2}）$，
同样求平面BEF的一个法向量$\overrightarrow n=（{1，1，2}）$，$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|{\overrightarrow m}||{\overrightarrow n}|}}=\frac{{\sqrt{30}}}{6}$，
∴二面角E-BF-Q的余弦值为$\frac{{\sqrt{30}}}{6}$．…（12分）

点评 本题考查直线与平面平行，平面与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．