Question

4．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如解析式为y=2x²+1，值域为{9}的“孪生函数”就有三个，那么解析式为y=log₂（x²-1），值域为{1，5}的“孪生函数”共有（　　）

• A． 6个
• B． 7个
• C． 8个
• D． 9个

Answer 1

分析 先确定函数的自变量是在集合{$\sqrt{3}$}，{-$\sqrt{3}$}，{-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$}取其一，再在{$\sqrt{33}$}，{-$\sqrt{33}$}，{-$\sqrt{33}$，$\sqrt{33}$}取其一合并而成，故有9中可能．

解答 解：根据题意，因为函数y=f（x）=log₂（x²-1）的值域为{1，5}，
则对于各函数值考察如下：
①令log₂（x²-1）=1，解得x=±$\sqrt{3}$，
所以，函数的定义域中对于±$\sqrt{3}$有下列三种可能，
{$\sqrt{3}$}，{-$\sqrt{3}$}，{-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$}；
②令log₂（x²-1）=5，解得x=±$\sqrt{33}$，
所以，函数的定义域中对于±$\sqrt{33}$有下列三种可能，
{$\sqrt{33}$}，{-$\sqrt{33}$}，{-$\sqrt{33}$，$\sqrt{33}$}；
而函数f（x）的定义域是在①，②中各取一个集合，再取并集而构成，
所以，有不同的抽取方法N=3×3=9种．
故答案为：D．

点评 本题主要考查了函数值域的应用，即根据函数的值域确定函数自变量取值的集合，体现了分类讨论和转化的解题思想，属于中档题．