Question

12．设函数f（x）是2x与$\frac{2a}{x}$的平均值（x≠0．且x，a∈R）．
（1）当a=1时，求f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的值域；
（2）若不等式f（2^x）＜-2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$+1在[0，1]上恒成立，试求实数a的取值范围；
（3）设g（x）=$\frac{\sqrt{1-{x}^{4}}}{1+{x}^{2}}$，是否存在正数a，使得对于区间[-$\frac{2}{\sqrt{5}}$，$\frac{2}{\sqrt{5}}$]上的任意三个实数m、n、p，都存在以f（g（m）、f（g（n））、f（g（p））为边长的三角形？若存在，试求出这样的a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，f（x）=x+$\frac{1}{x}$，结合对勾函数的图象和性质，可得f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的值域；
（2）若不等式f（2^x）＜-2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$+1在[0，1]上恒成立，即a＜-2（2^x）²+1+2^x在[0，1]上恒成立，令t=2^x，则t∈[1，2]，y=-2t²+t+1，结合二次函数的图象和性质，求出函数的最小值，可得实数a的取值范围；
（3）换元，原问题等价于求实数a的范围，使得函数在给定的区间上，恒有2y_min＞y_max

解答 解：（1）∵函数f（x）是2x与$\frac{2a}{x}$的平均值，
∴f（x）=x+$\frac{a}{x}$，
当a=1时，f（x）=x+$\frac{1}{x}$，在[$\frac{1}{2}$，1]上为减函数，在[1，2]上为增函数，
∴当x=$\frac{1}{2}$，或x=2时，函数最最大值$\frac{5}{2}$，当x=1时，函数取最小值2，
故f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的值域为[2，$\frac{5}{2}$]；
（2）若不等式f（2^x）＜-2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$+1在[0，1]上恒成立，
即2^x+$\frac{a}{{2}^{x}}$＜-2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$+1在[0，1]上恒成立，
即a＜-2（2^x）²+1+2^x在[0，1]上恒成立，
令t=2^x，则t∈[1，2]，y=-2t²+t+1，
由y=-2t²+t+1的图象是开口朝下，且以直线t=$\frac{1}{4}$为对称轴的抛物线，
故当t=2，即x=1时，函数取最小值-5，
故a＜-5；
（3）设t=g（x）=$\frac{\sqrt{1-{x}^{4}}}{1+{x}^{2}}$=$\sqrt{\frac{{1-x}^{2}}{1+{x}^{2}}}$，
∵x∈[-$\frac{2}{\sqrt{5}}$，$\frac{2}{\sqrt{5}}$]，
∴t∈[$\frac{1}{3}$，1]，
则y=t+$\frac{a}{t}$；
原问题转化为求实数a的取值范围，使得y在区间[$\frac{1}{3}$，1]上，恒有2y_min＞y_max．
讨论：①当0＜a≤$\frac{1}{9}$时，y=t+$\frac{a}{t}$在[$\frac{1}{3}$，1]上递增，
∴y_min=3a+$\frac{1}{3}$，y_max=a+1，
由2y_min＞y_max得a＞$\frac{1}{15}$，
∴$\frac{1}{15}$＜a≤$\frac{1}{9}$；
②当$\frac{1}{9}$＜a≤$\frac{1}{3}$时，y=t+$\frac{a}{t}$在[$\frac{1}{3}$，$\sqrt{a}$]上单调递减，在[$\sqrt{a}$，1]上单调递增，
∴y_min=2$\sqrt{a}$，y_max=max{3a+$\frac{1}{3}$，a+1}=a+1，
由2y_min＞y_max得7-4$\sqrt{3}$＜a＜7+4$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{9}$＜a≤$\frac{1}{3}$；
③当$\frac{1}{3}$＜a＜1时，y=t+$\frac{a}{t}$在[$\frac{1}{3}$，$\sqrt{a}$]上单调递减，在[$\sqrt{a}$，1]上单调递增，
∴y_min=2$\sqrt{a}$，y_max=max{3a+$\frac{1}{3}$，a+1}=3a+$\frac{1}{3}$，
由2y_min＞y_max得$\frac{7-4\sqrt{3}}{9}$＜a＜$\frac{7+4\sqrt{3}}{9}$，
∴$\frac{1}{3}$＜a＜1；
④当a≥1时，y=t+$\frac{a}{t}$在[$\frac{1}{3}$，1]上单调递减，
∴y_min=a+1，y_max=3a+$\frac{1}{3}$，
由2y_min＞y_max得a＜$\frac{5}{3}$，
∴1≤a＜$\frac{5}{3}$；
综上，a的取值范围是{a|$\frac{1}{15}$＜a＜$\frac{5}{3}$}．

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，也考查了分类讨论与求最值的应用问题，是难题．