Question

已知函数f（x）=ax+

x+1

，a∈R．
（1）当a=1时，求f（x）的最小值；
（2）若函数f（x）图象上的点都在不等式组

x+1≥0 x-y-1≤0

表示的平面区域内，求实数a的取值范围；
（3）若函数h（x）=x⁴+[f（x）-

x+1

]（x²+1）+bx²+1在（0，+∞）上有零点，求a²+b²的最小值．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：（1）将a=1代入，结合函数的定义域和单调性，可得f（x）的最小值；
（2）若函数f（x）图象上的点都在不等式组

x+1≥0 x-y-1≤0

表示的平面区域内，则f（x）=ax+

x+1

≥x-1在[-1，+∞）上恒成立，进而可得实数a的取值范围；
（3）若函数h（x）=x⁴+[f（x）-

x+1

]（x²+1）+bx²+1在（0，+∞）上有零点，利用换无法，结合二次函数的图象和性质，可得a²+b²的最小值．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=x+

x+1

的定义域为[-1，+∞），
由y=x和y=

x+1

均为增函数，
故f（x）=x+

x+1

为增函数，
故当x=-1时，f（x）取最小值-1，
（2）若函数f（x）图象上的点都在不等式组

x+1≥0 x-y-1≤0

表示的平面区域内，
则f（x）=ax+

x+1

≥x-1在[-1，+∞）上恒成立，
即（a-1）x+

x+1

+1≥0在[-1，+∞）上恒成立，
令t=

x+1

，则x=t²-1，（t≥0），
则（a-1）（t²-1）+t+1≥0在[0，+∞）上恒成立，
当a=1时，t+1≥1满足条件，
当a≠1时，若（a-1）（t²-1）+t+1≥0在[0，+∞）上恒成立，
则

a-1＞0 2-a≥0

，解得：1＜a≤2，
综上所述，实数a的取值范围为[1，2]，
（3）令h（x）=x⁴+[f（x）-

x+1

]（x²+1）+bx²+1=0
即x2+ax+b+

a

x

+

1

x2

=0，
令t=x+

1

x

，则方程可化为t²+at+b-2=0，t≥2，
设令g（t）=t²+at+b-2=0，t≥2，
当-

a

2

＞2，即a＜-4时，只需△=a²-4b+8≥0，此时，a²+b²≥16；
当-

a

2

≤2，即a≥-4时，只需4+2a+b-2≤0，即2a+b+2≤0，此时a²+b²≥

4

5

．
综上所述a²+b²的最小值为

4

5

．

点评：本题考查的知识点是函数零点的判定定理，函数的单调性和最值，线性规划，是函数，不等式的综合应用，难度中档．